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    分形布朗运动

    在「噪声的艺术（一）」中我们学习了 Value Noise, Gradient Noise 以及 Simplex Noise 这三种创建噪声的方法。随后我们又在「噪声的艺术（二）」中学到了基于网格的生成方法。是时候将这些技法融入真正的艺术效果中了。

    以下内容来自「the book of shaders」分形布朗运动一章。

    线性波

    正弦波拥有频率和振幅两个特征值，收音机上的 AM（调幅）和 FM（调频）更改的就是这两个特征值。

    float amplitude = 1.;
float frequency = 1.;
y = amplitude * sin(x * frequency);

    大学里学过的傅立叶变换让我们知道波是可以叠加的。

    从音乐理论上说，每个音符都和一个特定的频率相关联。这些音符和频率的关系遵从一定的模式，也就是我们所说的音阶，一个八度（octave）对应着频率上的加倍或减半。

    叠加噪声

    还记得在「噪声的艺术（一）」中我们学到的 Perlin 噪声的模拟过程吗？既然波是可以叠加的，噪声也可以。

    通过在循环（循环次数为 octaves，一次循环为一个八度）中叠加噪声，并以一定的倍数（lacunarity，间隙度）连续升高频率，同时以一定的比例（gain，增益）降低 噪声 的振幅，最终的结果会有更好的细节。这项技术叫“分形布朗运动（fractal Brownian Motion）”（fBM），或者“分形噪声（fractal noise）”

    比如下面的例子中，我们叠加了 6 个八度：

    const int octaves = 6;
float lacunarity = 2.0;
float gain = 0.5;

float amplitude = 0.5;
float frequency = 1.;

for (int i = 0; i < octaves; i++) {
	y += amplitude * noise(frequency*x);
	frequency *= lacunarity;
	amplitude *= gain;
}

    效果如下，可见初始 Perlin 噪声的特征已经被隐藏了：

    值得注意的是，虽然 Perlin 噪声计算量不如使用网格生成方式的算法例如 Voronoi，看似效果较差，但是经过 fbm，其实效果已经很好了。

    注意，随着我们一个八度接一个八度地往上叠加，曲线看起来有越来越多的细节，同时，自相似性也越来越明显。如果你放大看看，曲线的局部和整体看起来很相似，并且，任选两段不同的部分看起来也多少有些相似。这是一个数学上的分形的重要性质，我们在上面的循环中模拟了这个性质。

    模拟自然界效果

    这项技术被广泛地应用于构造程序化风景。fBm 的自相似性能够很完美地模拟山脉，因为山脉形成过程中的腐蚀形成了这种不同尺度上的自相似性。

    山脊

    IQ 大神的作品，希望自己有一天能完全弄懂生成的原理。

    完全通过下面的 texture 生成，包含了光照，阴影，摄像机运动等等。

    流动的气体

    又是 IQ 大神带来的一种华丽效果，他称之为 domain warping。 大致思想是递归调用 fbm：

    f(p) = fbm( p + fbm( p + fbm( p ) ) )

    比如选取一些特殊的参数，再加上 u_time 带上运动效果：

    vec2 q = vec2(0.);
q.x = fbm( st + 0.00*u_time);
q.y = fbm( st + vec2(1.0));

vec2 r = vec2(0.);
r.x = fbm( st + 1.0*q + vec2(1.7,9.2)+ 0.15*u_time );
r.y = fbm( st + 1.0*q + vec2(8.3,2.8)+ 0.126*u_time);

float f = fbm(st+r);

    最终可以实现类似雾气的流动效果：

    总结

    「the book of shaders」也只更新到这一章，希望后续章节能够继续更新吧。